등비급수
공비의 범위와 도형 활용
수학고 선택 · 미적분Ⅱ · 수열의 극한영어: geometric series
AI가 쓰고, 다른 AI가 문장마다 따지는 자동 검사를 거친 글입니다. 공식·값과 예제의 숫자는 코드로 검산했습니다. 사람 검토는 일부만 했습니다.
등비수열의 모든 항을 끝없이 더한 것을 등비급수라고 부릅니다. 첫째항이 a이고 공비가 r일 때 a + ar + ar² + … 과 같이 나타냅니다.
1등비급수 공식
−1 < r < 1 이면 a + ar + ar² + … = a ÷ (1 − r), 그 밖에는 (a ≠ 0 일 때) 발산
a: 첫째항 · r: 공비
✓ 다른 방법으로 검산(대입·늘어놓기·직접 합·수치 계산)
2합의 공식이 나오는 까닭
등비수열의 첫째항부터 n번째 항까지 더한 부분합은 a(1 − rⁿ) ÷ (1 − r)입니다. 여기서 공비 r의 범위가 −1 < r < 1이면 n이 커질수록 rⁿ은 0에 가까워집니다. 이에 따라 n번째 항까지의 합은 a ÷ (1 − r)에 가까워집니다. 그러므로 끝없이 더한 등비급수의 합은 a ÷ (1 − r)가 됩니다.
3등비급수 계산에서 틀리기 쉬운 곳
- 공비 r의 범위를 살피지 않고 공식을 바로 쓰면 틀리기 쉽습니다. 첫째항 a가 0이 아닐 때 r이 −1 < r < 1 밖이면 등비급수가 발산하여 공식을 쓸 수 없기 때문입니다.
- 첫째항 a가 0인 경우를 놓치기 쉽습니다. a가 0이면 공비 r의 값에 상관없이 모든 항이 0이 되어 합이 0으로 수렴하기 때문입니다.
4배우는 학년
고 선택 미적분Ⅱ · 수열의 극한
[12미적Ⅱ-01-05] 등비급수의 합을 구하고, 이를 활용할 수 있다. — 2022 개정 교육과정 원문
[12미적Ⅱ-01-05] 등비급수의 합을 구하고, 이를 활용할 수 있다. — 2022 개정 교육과정 원문