이항계수
전개식에서의 성질
수학고 선택 · 확률과 통계 · 경우의 수영어: Binomial Coefficient
AI가 쓰고, 다른 AI가 문장마다 따지는 자동 검사를 거친 글입니다. 공식·값과 예제의 숫자는 코드로 검산했습니다. 사람 검토는 일부만 했습니다.
이항계수는 (a + b)ⁿ을 전개했을 때 각 항에 곱해지는 ₙCᵣ 형태의 수를 말합니다. 영어 이름은 Binomial Coefficient입니다.
1이항계수 성질
- n이 0 이상의 정수일 때 (a + b)ⁿ을 전개하면 각 항은 ₙCᵣaⁿ⁻ʳbʳ의 꼴이 됩니다.
- 전개식에서 각 항의 계수는 조합 ₙCᵣ를 사용하여 나타냅니다.
- 일반항 ₙCᵣaⁿ⁻ʳbʳ에서 r은 0부터 n까지의 정수입니다.
- 이항계수는 파스칼의 삼각형을 통해 그 값을 배열할 수 있습니다.
2이항계수 공식
(a + b)ⁿ = ₙC₀aⁿ + ₙC₁aⁿ⁻¹b + … + ₙCₙbⁿ — 일반항 ₙCᵣaⁿ⁻ʳbʳ
n: 자연수 · r: 0부터 n까지
✓ 다른 방법으로 검산(대입·늘어놓기·직접 합·수치 계산)
3이항계수가 나오는 까닭
(a + b)ⁿ은 (a + b)를 n번 곱한 식입니다. 이 식을 전개할 때 각 항은 n개의 괄호에서 a 또는 b를 하나씩 선택하여 곱하는 방식으로 만들어집니다. aⁿ⁻ʳbʳ항이 나오려면 n개의 괄호 중 b를 r개, a를 n-r개 선택해야 합니다. 이때 b를 선택할 괄호를 고르는 경우의 수가 ₙCᵣ이므로 이 값이 계수가 됩니다.
4이항계수 계산에서 틀리기 쉬운 곳
- 일반항에서 r의 범위를 0부터 n까지가 아닌 1부터 n까지로 잘못 생각하는 경우가 있습니다. r=0인 경우도 포함해야 합니다.
- 계수 ₙCᵣ를 계산할 때 순열과 혼동하여 순서를 고려하는 경우가 있습니다. 조합은 순서와 관계없이 선택하는 수임을 기억해야 합니다.
5배우는 학년
고 선택 확률과 통계 · 경우의 수
[12확통01-01] 중복순열, 같은 것이 있는 순열을 이해하고, 그 순열의 수를 구하는 방법을 설명할수 있다. — 2022 개정 교육과정 원문
[12확통01-01] 중복순열, 같은 것이 있는 순열을 이해하고, 그 순열의 수를 구하는 방법을 설명할수 있다. — 2022 개정 교육과정 원문