평균값 정리

롤의 정리와 도함수 활용

수학고 선택 · 미적분Ⅰ · 미분영어: Mean Value Theorem

AI가 쓰고, 다른 AI가 문장마다 따지는 자동 검사를 거친 글입니다. 공식·값과 예제의 숫자는 코드로 검산했습니다. 사람 검토는 일부만 했습니다.

닫힌구간에서 연속이고 열린구간에서 미분 가능한 함수에 대해, 양 끝점의 평균 변화율과 같은 순간 변화율을 가지는 점이 구간 내에 적어도 하나 존재한다는 정리입니다.

1평균값 정리를 적용할 수 있는 함수와 없는 함수

보기	해당	까닭
닫힌구간에서 연속이고 열린구간에서 미분 가능한 다항함수	○	정리의 조건을 모두 만족합니다.
닫힌구간 내의 한 점에서 불연속인 함수	×	닫힌구간에서 연속이어야 한다는 조건을 만족하지 않습니다.
열린구간 내의 점에서 미분 불가능한 함수	×	열린구간에서 미분 가능해야 한다는 조건을 만족하지 않습니다.
닫힌구간에서 연속이고 열린구간에서 미분 가능한 삼각함수	○	정리의 조건을 모두 만족합니다.

닫힌구간 [0, 2]에서 정의된 함수 f(x) = x²에 대해 평균값 정리를 적용해 봅니다. 양 끝점의 평균 변화율은 (4 - 0) / (2 - 0)이 되어 2가 나옵니다. 도함수 f'(x) = 2x이므로 2x = 2를 만족하는 점 c의 값은 1이 되고, 이는 열린구간 (0, 2)에 속합니다.
닫힌구간 [1, 3]에서 정의된 함수 f(x) = x²에 대해 평균값 정리를 적용해 봅니다. 양 끝점의 평균 변화율은 (9 - 1) / (3 - 1)이 되어 4가 나옵니다. 도함수 f'(x) = 2x이므로 2x = 4를 만족하는 점 c의 값은 2가 되고, 이는 열린구간 (1, 3)에 속합니다.

롤의 정리가 평균값 정리와 완전히 다른 새로운 정리라고 잘못 알기 쉽습니다. 롤의 정리는 양 끝점의 함숫값이 같을 때의 경우를 뜻하므로 평균값 정리의 특수한 경우에 해당합니다.

함께 보기: 롤의 정리

고 선택 미적분Ⅰ · 미분
[12미적Ⅰ-02-06] 함수에 대한 평균값 정리를 설명하고, 이를 활용할 수 있다. — 2022 개정 교육과정 원문