판별식
이차방정식 해의 개수 구하는 법
수학고1 공통 · 공통수학1 · 방정식과 부등식영어: Discriminant
공식·값은 검산한 카드에서, 예제의 숫자와 답은 코드 계산에서 가져왔고, 글은 자동 검사를 거친 뒤 사람이 전부 읽고 고쳤습니다.
판별식은 이차방정식을 직접 풀지 않고도 근이 서로 다른 두 실근인지, 중근인지, 서로 다른 두 허근인지 알려 주는 식입니다. 영어로는 discriminant라고 합니다.
1판별식 공식
D = b² − 4ac — D > 0 이면 서로 다른 두 실근, D = 0 이면 중근, D < 0 이면 서로 다른 두 허근
a: 이차항의 계수 · b: 일차항의 계수 · c: 상수항
✓ 다른 방법으로 검산(대입·늘어놓기·직접 합·수치 계산)
2판별식 공식이 나오는 까닭
이차방정식의 근의 공식에서 근은 2a분의 -b 플러스마이너스 루트 b² − 4ac입니다. 이때 루트 안의 값인 b² − 4ac가 0보다 크면 서로 다른 두 실근이 나옵니다. 이 값이 0이면 루트 부분이 사라져 중근이 됩니다. 반대로 이 값이 0보다 작으면 루트 안에 음수가 생겨 서로 다른 두 허근을 갖게 됩니다.
3판별식 예제
예제 1. x² − 5x + 6 = 0 의 근을 판별하면?
D = b² − 4ac = (-5)² − 4 × 1 × 6 = 1
x² − 5x + 6 = 0에서 b² − 4ac를 계산하면 1이 나오며, 이는 0보다 크므로 서로 다른 두 실근을 갖습니다.
답: D = 1 이므로 서로 다른 두 실근
예제 2. x² − 4x + 4 = 0 의 근을 판별하면?
D = b² − 4ac = (-4)² − 4 × 1 × 4 = 0
x² − 4x + 4 = 0에서 b² − 4ac를 계산하면 0이 나오며, 이는 중근을 갖는 조건에 해당합니다.
답: D = 0 이므로 중근(서로 같은 두 실근)
예제 3. x² + 2x + 5 = 0 의 근을 판별하면?
D = b² − 4ac = (2)² − 4 × 1 × 5 = -16
x² + 2x + 5 = 0에서 b² − 4ac를 계산하면 -16이 나오며, 이는 0보다 작으므로 서로 다른 두 허근을 갖습니다.
답: D = -16 이므로 서로 다른 두 허근
예제의 숫자와 답은 코드가 계산했습니다.
4판별식 계산에서 틀리기 쉬운 곳
- b²을 계산할 때 부호를 무시하는 실수가 잦습니다. 음수를 제곱하면 항상 양수가 되어야 하는데 이를 놓치면 판별식 결과가 달라집니다.
- 4ac를 계산할 때 계수 a와 c의 부호를 잘못 적용하는 경우가 많습니다. 특히 c가 음수일 때 빼기 연산과 겹쳐 부호가 바뀌는 것을 주의해야 합니다.
5배우는 학년
고1 공통 공통수학1 · 방정식과 부등식
[10공수1-02-02] 이차방정식의 실근과 허근을 이해하고, 판별식을 이용하여 이차방정식의 근을 판별할수 있다. — 2022 개정 교육과정 원문
[10공수1-02-02] 이차방정식의 실근과 허근을 이해하고, 판별식을 이용하여 이차방정식의 근을 판별할수 있다. — 2022 개정 교육과정 원문